1 Januari 2013

coret coret presentasi analisis real

Teorema 5.4.7 Misalkan f : A ®   kontinu seragam pada A. Jika clip_image002[12] barisan Cauchy di dalam A, maka clip_image004[8] barisan Cauchy di dalam R.

Bukti:  Diberikan sebarang clip_image006[4]. Dengan kekontinuan seragam dari f  terdapat clip_image008[4] sehingga untuk setiap clip_image010[4] dengan clip_image012[4] berlaku clip_image014[4]. Karena clip_image002[13] barisan Cauchy, maka untuk clip_image016[6] di atas terdapat H Î N sehingga untuk clip_image018[4] berlaku clip_image020[4]. Dengan pemilihan clip_image016[7] ini mengakibatkan bahwa  clip_image022[4]. Jadi, clip_image004[9] barisan Cauchy.    

            Dengan hasil teorema di atas, dapat ditunjukkan bahwa fungsi clip_image024[6] tidak kontinu seragam pada (0,1). Karena, jika diambil barisan clip_image002[14], dengan clip_image026[4] di dalam (0,1) adalah barisan Cauchy, tetapi barisan peta, dengan clip_image028[4] bukan barisan Cauchy.

 

Teorema 5.4.8 Fungsi f  kontinu seragam pada interval clip_image030[12] jika dan hanya jika f  dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada clip_image032[8].

Bukti:  clip_image034[4] Fungsi yang kontinu seragam pada clip_image032[9] tentu saja kontinu seragam pada himpunan bagian clip_image030[13].

clip_image036[4] Misalkan f  kontinu seragam pada clip_image030[14]. Akan dibuktikan bahwa f  dapat diperluas di a dan b. Tanpa mengurangi keumuman akan ditunjukkan bahwa clip_image038[4] ada. Untuk titik b dibuktikan serupa. Jika clip_image002[15] barisan Cauchy di dalam clip_image030[15] dengan clip_image040[4], maka clip_image002[16] barisan Cauchy. Dengan Teorema 5.4.7 barisan clip_image004[10] juga barisan Cauchy, sehingga konvergen. Jadi  clip_image042[4] ada. Jika clip_image044[4] sebarang barisan di dalam clip_image030[16] yang konvergen ke a, maka  clip_image046[4]. Dengan kekontinuan seragam dari f, maka

clip_image048[4]

      clip_image050[4].

Karena diperoleh nilai yang sama untuk setiap barisan yang konvergen ke a, maka dari krieteria barisan untuk limit disimpulkan bahwa f  mempunyai limit L di a. Jika didefiinisikan clip_image052[4], maka f  kontinu di a. Arguman yang sama dapat dilakukan untuk b. Jadi, f dapat diperluas menjadi fungsi yang kontinu pada clip_image032[10].               

 

Karena limit dari clip_image024[7] di 0 tidak ada, maka dengan Teorema Perluasan Kontinu 5.4.8, fungsi f  kontinu tak seragam pada interval clip_image054[6] dengan clip_image056[6]. Di pihak lain karena clip_image058[4] ada, maka fungsi clip_image060[4] kontinu seragam pada clip_image054[7] untuk semua clip_image056[7].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

clip_image062[4]

 

clip_image064[4]

clip_image066[4]

clip_image068[4]

clip_image070[4]

clip_image072[4]

 

clip_image074[4]

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar

Silakan tulis komentar anda